Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Satz des Pythagoras, Teil 3

''Antikes Mathematik-Rechengerät'' © Dieter Schütz PIXELIO www.pixelio.de

Die Mathematik ist etwas sehr altes. Bereits in der Antike beschäftigten sich Menschen damit. Als Schülerin und Schüler weiß man das natürlich oft nicht. Warum auch? Mathe-Gesetze „fühlen“ sich eh zeitlos an! Daher ist beispielsweise der Satz des Pythagoras auch noch in 500 Millionen Jahren gültig – und darüber hinaus. Dennoch müssen Menschen erst auf solch eine Mathe-Gesetzmäßigkeit stoßen, was bei dem Satz des Pythagoras schon superlange her ist. Denn bereits im 6. Jahrhundert vor Christus stieß angeblich Pythagoras auf die nach ihm benannte sehr berühmte Gesetzmäßigkeit. Heute weiß man aber, dass auch schon vor ihm Babylonier und Ägypter diese Gesetzmäßigkeit kannten. In der Schule beim Satz des Pythagoras bekommt man daher spätestens einen Begriff davon, wie alt die Mathematik doch ist… Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck, Teil 1

Rechtwinkliges Dreieck mit Längen- und Winkelangabe

Stehen in Mathe Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck an der Tagesordnung und man muss hierfür nicht den Satz des Pythagoras heranziehen, so hat man das Stoffgebiet Trigonometrie vor der Brust. Mithilfe der trigonometrischen Beziehungen lassen sich nämlich auch die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Im Gegensatz zu dem Satz des Pythagoras macht man das aber entweder mittels zweier Seitenlängen oder zusammen mit einem Winkel und einer Seitenlänge des Dreiecks. Aber im Prinzip ist das Stoffgebiet ähnlich schwer bzw. leicht (wenn man in Mathematik nicht gänzlich auf den Kopf gefallen ist ;-)). Man muss nur die trigonometrischen Beziehungen anwenden – und am besten auch noch auswendig können. Folgende drei trigonometrischen Beziehungen gibt es hierbei: Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Satz des Pythagoras, Teil 2

Ein Wohnraum mit rechtwinkliger Grundfläche © CarstenWeber PIXELIO www.pixelio.de

In jedem Raum in einem häuslichen Wohnfeld (es sei denn, man wohnt im Dachgeschoss) begegnet man dem Satz des Pythagoras – und das von Zimmer zu Zimmer gleich doppelt. Normalerweise besitzen ja Räume in Wohnungen eine rechteckige Grundfläche und demzufolge auch die Form eines viereckigen Quaders. Jeder viereckige Quader beziehungsweise Raum enthält nun 2-mal den Satz des Pythagoras – auf der Grundfläche in Form der Flächendiagonalen und im Zimmer selbst in Form der Raumdiagonalen. Hat man daher die Länge und die Breite des Raumes gemessen, dann kann man zunächst über den Satz des Pythagoras die Flächendiagonale des Zimmers berechnen und im Anschluss unter Einbeziehung der Raum-Höhe die Raumdiagonale. Die jeweils ermittelten Ergebnisse lassen dann vielleicht das Zimmer größer erscheinen und man bekommt dadurch eventuell ein positiveres Raumgefühl (das war natürlich eher scherzhaft gemeint :-)). Weiterlesen

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Mathematik-Nachhilfe: Aufgaben zum Satz des Pythagoras, Teil 1

Die berühmte Mathe-Gesetzmäßigkeit “Satz des Pythagoras“ © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

Eine Gesetzmäßigkeit aus dem Mathematik-Unterricht vergessen viele Menschen ihr Leben lang nicht mehr – den „Satz des Pythagoras“. Der Grund hierfür ist aber bestimmt nicht in einem „mathematischen“ Trauma zu finden, den diese Mathe-Gesetzmäßigkeit bei den einstigen Schülern hervorrief. Denn der Satz des Pythagoras stellt für einen „nicht gerade auf den Kopf gefallenen“ Schüler kein allzu schwieriges Mathe-Stoffgebiet dar. Demzufolge sind irgendwelche psychosomatischen „Folgeschäden“ aufgrund dieser mathematischen Gesetzmäßigkeit auf jeden Fall ausgeschlossen. Vielmehr liegt der Nichtvergessenkönnen-Grund nämlich gerade in der großen Einfachheit und Unkompliziertheit des Satzes begründet. Schließlich muss man sich beim Satz des Pythagoras nur eine überaus einprägsame Gleichung merken – und zwar a² + b² = c². Weiterlesen

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Satz des Pythagoras

Satz des Pythagoras © S. Hofschlaeger PIXELIO www.pixelio.de

1. Allgemeines und Beweisführung zum Satz des Pythagoras

Eine der berühmtesten Gesetzmäßigkeiten in der Mathematik ist der Satz des Pythagoras, da dieser bereits in der vorchristlichen Antike bekannt war und bis heute die am meisten bewiesene Gesetzmäßigkeit der Mathematik-Geschichte ist.

Bei dem Satz des Pythagoras handelt es sich um eine Flächengleichung, die an jedem rechtwinkligen Dreieck aufgestellt werden kann. Der Satz des Pythagoras besagt nämlich: Die aus der Länge einer Hypotenuse erzeugte quadratische Fläche ist gleich der quadratischen Flächen, die durch die Längen der Katheten gebildet werden. Daraus ergibt sich folgende berühmte Gleichung für den Satz des Pythagoras:

c² = a² + b²

Im Umkehrschluss ergibt sich hierdurch, dass jedes Dreieck rechtwinklig ist, das diese Gleichung erfüllt.

Nachfolgend ist der Satz des Pythagoras bildlich dargestellt.

Satz des Pythagoras bildlich veranschaulicht

Die Hypotenuse c des rechtwinkligen Dreiecks ABC beträgt hier 5 cm, die Kathete b hat die Länge 4 cm und die Kathete a die Länge 3 cm.

Quadriert man nun alle Seitenlängen, dann ergeben sich die einzelnen Flächenquadrate c² = 25 cm², b² = 16 cm² und a² = 9 cm².

Hierbei kann man sehen, dass im rechtwinkligen Dreieck die Summe der quadrierten Katheten gleich der quadrierten Hypotenuse ist. Denn:

(4 cm)² + (3 cm)² = (5 cm)² <=> 16 cm² + 9 cm² = 25 cm² <=> 25 cm² = 25 cm²

Vom Satz des Pythagoras gibt es mehrere Hundert (!) verschiedene Beweise, die seine Richtigkeit belegen. Hier sollen uns ein geometrischer und ein rechnerischer Beweis jedoch genügen, um dessen mathematische Gesetzmäßigkeit als wahr zu bestätigen.

Geometrischer Beweis:

Geometrischer Beweis vom Satz des Pythagoras

Das konstruierte Quadrat auf der rechten Seite hat die Seitenlänge a + b (a ist der grüne Strich, b der rote, a = 3 cm, b = 4 cm). In das Quadrat werden jeweils an seinen Ecken vier gleich große, deckungsgleiche/kongruente Dreiecke, die aus den Katheten a und b bestehen eingezeichnet. Hierbei sind alle Dreiecke rechtwinklig. Aus den jeweiligen Hypotenusen der einzelnen Dreiecke entsteht so ein Quadrat im Quadrat, das den Flächeninhalt c² besitzt (Hypotenuse mal Hypotenuse bzw. c · c).

Das konstruierte Quadrat auf der linken Seite hat ebenfalls die Seitenlänge a + b (a ist wiederum der grüne Stich, b wiederum der rote, a = 3 cm, b = 4 cm). In dieses Quadrat werden nun jeweils oben links und unten rechts zwei deckungsgleiche/kongruente Dreiecke, die ebenfalls aus den Katheten a und b bestehen, eingezeichnet. Hierbei sind natürlich wiederum alle Dreiecke auch rechtwinklig. Aufgrund der so gewählten Konstruktion der einzelnen Dreiecke entstehen nun unten links ein Quadrat mit der Seitenlänge b (aus den Katheten b der Dreiecke) und oben rechts ein Quadrat mit der Seitenlänge a (aus den Katheten a der Dreiecke). Das Quadrat mit der Seitenlänge b hat folglich den Flächeninhalt b² (Kathete mal Kathete bzw. b · b), das Quadrat mit der Seitenlänge a demzufolge den Flächeninhalt a² (Kathete mal Kathete bzw. a · a).

Da das konstruierte Quadrat links gleich viele deckungsgleiche/konkruente Dreiecke wie das rechte konstruierte Quadrat vorweist, ist die Fläche der hierdurch im Innern entstehenden Quadrate gleich groß und demzufolge gilt:

c² = a² + b²

Rechnerischer Beweis:

Recherischer Beweis vom Satz des Pythagoras

Auf dem obigen Bild sind wieder zwei große Quadrate zu sehen, die sich wiederum jeweils aus den Seitenlängen a + b zusammensetzen (a ist der grüne Strich mit a = 3 cm und b ist der rote Strich mit b = 4 cm).

Innerhalb des linken Quadrates mit der Seitenlänge a + b sind am oberen rechten Ende und am unteren rechten Ende jeweils 2 deckungsgleiche/kongruente Dreiecke eingezeichnet worden. Hierdurch entstand unten links ein Quadrat mit dem Flächeninhalt b² (Kathete mal Kathete bzw. b · b) und oben rechts ein Quadrat mit dem Flächeninhalt a² (Kathete mal Kathete bzw. a · a). Innerhalb des rechten Quadrates wurden jeweils an den Ecken des Quadrats 1 deckungsgleiches/konkruentes Dreieck eingezeichnet. Dadurch entstand im Innern ein Quadrat mit dem Flächeninhalt c² (Hypotenuse mal Hypotenuse bzw. c · c).

Da der Flächeninhalt des rechten und des linken Quadrates gleich ist, kann man beide Quadrat-Flächeninhalte mittels einer Gleichung gegenüberstellen.

Hierbei lässt sich der linke Flächeninhalt des Quadrats mit dem Term (a + b) · (a + b) bzw. (a + b)² wiedergegeben (was nichts anderes als die 1. Binomische Formel ist). Der rechte Flächeninhalt des Quadrats setzt sich aus 4 deckungsgleichen/kongruente Dreiecken plus einem Quadrat in der Mitte zusammen. Die Fläche eines Dreiecks kann man mit der Formel Grundseite mal Höhe geteilt durch 2 bzw. A = {\frac{1}{2} · (g · h) wiedergeben. Bezogen auf eines der deckungsgleichen/kongruenten Dreicke ergibt sich somit A = {\frac{1}{2} · (a · b). Der Flächeninhalt des rechten Quadrats kann man mit diesem Term wiedergegeben: 4 · {\frac{1}{2} · (a · b) + c² (die „4″ vor dem ersten Einzelterm ergibt sich durch den 4-fachen Flächeninhalt der 4 vorhanden Dreiecke).

Nun kann man folgende Gleichung für den Flächeninhalt des rechten und des linken Quadrats aufstellen.

(a + b)² = 4 · {\frac{1}{2} · (a · b) + c²

Durch Auflösen der 1. Binomischen Formel ergibt sich der linke Term. Bei dem rechten Term kann man den Bruch kürzen.

a² + 2ab + b² = 2ab + c²     | 2ab

Nach Eliminierung des Termes 2ab ergibt sich der Satz des Pythagoras und somit der rechnerische Beweis, dass die Fläche der beiden Quadrate im Innern des linken Quadrats gleich der Fläche des Quadrates im Innern des rechten Quadrates ist.

a² + b² = c²

 

2. Separieren und Auflösen der Flächenquadrate

Um den Satz des Pythagoras anwenden zu können, muss zunächst innerhalb der Gleichung das jeweils gesuchte Flächenquadrat separiert werden und anschließend aufgelöst werden. Da beim Satz des Pythagoras drei verschiedene Flächenquadrate (die quadrierte Hypotenuse und die beiden quadrierten Katheten) beziehungsweise drei verschiedene Variable vorkommen, gibt es drei unterschiedliche Möglichkeiten die Gleichung aufzulösen. Bei dem folgenden Separieren und Auflösen der Flächenquadrate wird davon ausgegangen, dass innerhalb des rechtwinkligen Dreiecks der Hypotenuse die Seitenlänge c zugeordnet ist und den beiden Katheten die Seitenlänge a und die Seitenlänge b.

Anmerkung: Je nach Aufgabenstellung kann in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse auch eine andere Seitenlängenbezeichnung haben und demzufolge auch die beiden Katheten. Nichtsdestotrotz gilt dann natürlich trotzdem der Satz des Pythagoras.

1. Möglichkeit der Gleichungsauflösung:

{\mathrm c^{2}} = {\mathrm a^{2}} + {\mathrm b^{2}}     | √

c = \sqrt{\mathrm a^{2}+\mathrm b^{2}}

2. Möglichkeit der Gleichungsauflösung

{\mathrm c^{2}} = {\mathrm a^{2}} + {\mathrm b^{2}}     | {\mathrm b^{2}}

{\mathrm c^{2}} {\mathrm b^{2}} = {\mathrm a^{2}}     | √

\sqrt{\mathrm c^{2}-\mathrm b^{2}} = a

a = \sqrt{\mathrm c^{2}-\mathrm b^{2}}

3. Möglichkeit der Gleichungsauflösung

{\mathrm c^{2}} = {\mathrm a^{2}} + {\mathrm b^{2}}   | {a^{2}}

{\mathrm c^{2}} {\mathrm a^{2}} = {\mathrm b^{2}}     | √

\sqrt{\mathrm c^{2}-\mathrm a^{2}} = b

b = \sqrt{\mathrm c^{2}-\mathrm a^{2}}

 

Mathematik-Nachhilfe-Hinweis: Da beim Satz des Pythagoras immer Flächenquadrate vorkommen, die auf positiven Seitenlängen basieren, muss beim Ziehen der Wurzel keine Fallunterscheidung gemacht werden.

 

Beispiele zu den drei Gleichungsauflösungen

1. Es ist ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, bei dem die Seitenlänge der Kathete a = 3 cm und die der Kathete b = 4 cm betragen. Gesucht ist die Seitenlänge der Hypotenuse c. Über die 1. Gleichheitsauflösung, c = \sqrt{\mathrm a^{2}+\mathrm b^{2}}, kann man nun ganz einfach c berechnen, indem man einfach in die beiden Variablen der Katheten a und b die hierfür angegeben Wert einsetzt.

c = \sqrt{(3~\mathrm cm)^{2}+(4~\mathrm cm)^{2}}

c = \sqrt{9~\mathrm cm^{2}+16~\mathrm cm^{2}}

c = \sqrt{25~\mathrm cm^{2}}

c = 5 cm

 

Mathe-Nachhilfe-Hinweis: Beim Einsetzen der Werte in die Variablen sollte man immer eine Klammer um den Wert und der dazugehörigen Einheit machen. Dadurch wird eindeutig sichtbar, dass sowohl die „nackte“ Zahl als auch die Einheit quadriert werden.

 

2. Es ist ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, bei dem die Seitenlänge der Hypotenuse c = 15 cm und die Seitenlänge der Kathete b = 5 cm betragen. Gesucht ist die Seitenlänge der Kathete a. Die Seitenlänge a kann man nun problemlos mit der 2. Gleichheitsauflösung berechnen. Hierbei muss man wiederum nur die gegebenen Werte in die beiden Variablen einsetzen.

a = \sqrt{(15~\mathrm cm)^{2}-(5~\mathrm cm)^{2}}

a = \sqrt{225~\mathrm cm^{2}-25~\mathrm cm^{2}}

a = \sqrt{200~\mathrm cm^{2}}

a = 14,14 cm (gerundet auf die 2. Nachkommastelle)

 

3. Es ist ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, bei dem die Seitenlänge der Hypotenuse c = 20,8 cm und die Seitenlänge der Kathete a = 12,3 cm betragen. Gesucht ist die Seitenlänge der Kathete b. Die Seitenlänge b kann nun wieder mittels der 3. Gleichheitsauflösung recht einfach ermittelt werden.

b = \sqrt{(20,8~\mathrm cm)^{2}-(12,3~\mathrm cm)^{2}}

b = \sqrt{(432,64~\mathrm cm)^{2}-(151,29~\mathrm cm)^{2}}

b = \sqrt{281,35~\mathrm cm^{2}}

b = 16,77 cm (gerundet auf die 2. Nachkommastelle)

 

3. Beweisführung für die Umkehrung vom Satz des Pythagoras

Bisher wurde nur bewiesen, dass für ein rechtwinkliges Dreieck ABC der Satz des Pythagoras, c² = a² + b², gilt. Wie sieht das aber für den Kehrsatz aus, d. h. wenn drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind. Ist dann auch das Dreieck rechtwinklig, wenn durch Quadrieren der einzelnen Seiten die Flächengleichung a² + b² = erfüllt ist? Die Antwort lautet: „ja“

Folgende drei Bilder beweisen hierbei die Gültigkeit für die Umkehrung vom Satz des Pythagoras.

1. Beweisführung für die Umkehrung vom Satz des Pythagoras

Bei dem ursprünglichen rechtwinkligen Dreieck ABC, bei dem γ = 90˚ beträgt, wird der Punkt C senkrecht nach unten verschoben. Hierdurch entsteht das neue grün gestrichelte Dreieck, das nun einen stumpfwinkligen Winkel γ vorweist (γ > 90˚). Bei diesem neuen grün gestrichelten Dreieck bleibt die quadrierte Fläche c² der Seitenlänge c unverändert, die quadrierten Flächen a² und b² der Seitenlänge a und b werden hierbei aber kleiner (auf dem Bild sind dies die roten Quadrate). Demzufolge gilt für die neuen Flächenquadrate des stumpfwinkligen Dreiecks: a² + b² < c².

2. Beweisführung für die Umkehrung vom Satz des Pythagoras

Bei dem ursprünglichen rechtwinkligen Dreieck ABC, das den rechten Winkel γ = 90˚ vorweist, wird der Punkt C senkrecht nach oben verschoben. Dadurch entsteht das neue grün gestrichelte Dreieck, das nun eine spitzen Winkel γ hat (γ < 90˚). Bei dem neuen, grün gestrichelten Dreieck bleibt wiederum die quadrierte Fläche c² der Seitenlänge c unverändert, die quadrierten Flächen a² und b² der Seitenlängen a und b werden dabei aber größer (auf dem Bild sind dies wiederum die roten Quadrate). Folglich gilt für die neuen Flächenquadrate des spitzwinkligen Dreiecks: a² + b² > c².

3. Beweisführung für die Umkehrung vom Satz des Pythagoras

Aus der 1. und 2. Beweisführung ergibt sich folglich die 3. Beweisführung: Wenn der Winkel γ ≠ 90˚ ist, dann gilt immer c² ≠ a² + b². Demzufolge ist nur bei γ = 90˚ geben, dass c² = a² + b² ist.

Daher gilt als Umkehrsatz vom Satz des Pythagoras:

Bei jedem Dreieck ABC, bei dem die Flächengleichung c² = a² + b² erfüllt ist, ist γ = 90˚.

Ist hingegen c² > a² + b², dann ist γ immer > 90˚ und γ weist demzufolge einen stumpfen Winkel auf.

Ist hingegen c² < a² + b², dann ist γ immer < 90˚ und γ weist folglich einen spitzen Winkel auf.

Ernie & sein bester Freund, das Quietscheentschen: einfach Sesamstraße at it’s best!

 

Beispiele:

Gegeben sind folgenden Dreiecke ABC:

a) a = 5 cm, b = 3 cm, c = 8 cm;

b) a = 4 cm, b = 3 cm, c = 2 cm;

c) a = 6 cm, b = 8 cm, c = 10 cm.

Überprüfe mittels des Kehrsatzes vom Satz des Pythagoras, welches dieser Dreieck rechtwinklig, spitzwinklig und stumpfwinklig ist.

a) Hier kann man bereits sehen, dass es sich mit ziemlicher Sicherheit um ein stumpfwinkliges Dreieck handelt. Denn c ist um einiges größer als a und b. Der Kehrsatz vom Satz des Pythagoras bestätigt dies auch: (5)² + (3)² < (8)² <=> 25 + 9 < 64 <=> 34 < 64

Daher handelt es sich hier eindeutig um ein stumpfwinkliges Dreieck.

b) Hier kann man bereits sehen, dass dass es sich mit ziemlicher Sicherheit um ein rechtwinkliges Dreieck handel. Denn c ist kleiner als a und b. Der Kehrsatz vom Satz des Pythagoras bestätigt dies auch: (4)² + (3)² > (2)² <=> 16 + 9 > 4 <=> 25 > 4.

Daher handelt es sich hier eindeutig um ein spitzwinkliges Dreieck.

c) Bei diesem Dreieck ist noch nicht gleich zu sehen, um was für ein Dreieck es sich handelt. Denn c ist zwar größer als a und b, aber nicht entschieden. Der Kehrsatz bestätigt dies: (6)² + (8)² = (10)² <=> 36 + 64 = 100 <=> 100 = 100

Da die Summe der quadrierten Seitenlängen a und b gleich groß ist der quadrierten Seitenlänge c, handelt es sich hier eindeutig um ein rechtwinkliges Dreieck.

 

4. Pythagoreische Zahlentripel

Ein Dreieck besitzt die Seitenlängen a = 3, b = 4 und c = 5 cm. Zeichnet man dieses Dreieck, so entsteht folgendes rechtwinklige Dreieck.

Rechtwinkliges Dreieck aus pythagoreischem Zahlentripel

Rechtwinkliges Dreieck aus pythagoreischem Zahlentripel

Die drei Seiten des rechtwinkligen Dreieck kann man auch derart schreiben: (3 Ι 4 Ι 5). Man nennt diese Schreibweise dann ein pythagoreisches Zahlentripel. Ein pythagoreisches Zahlentripel besteht nämlich aus natürlichen Zahlen, die allesamt auf den Satz des Pythagoras zurückgeführt werden können. Zwei Zahlen stellen schließlich die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks dar und eine Zahl die Hypotenuse.

 

Überprüfe, ob bei dem Zahlentripel ein pythagoreisches Zahlentripel vorliegt?

1. Beispiel:

(6 Ι 8 Ι 10)

Wenn das Zahlentripel pythagoreisch ist, dann muss bei diesem der Satz des Pythagoras gelten:

c² = a² + b²

Beim Satz des Pythagoras ist immer die größte Zahl die Hypotenuse:

(10)² = (6)² + (8)²

100 = 36 + 64

100 = 100

Hier liegt eindeutig ein pythagoreisches Zahlentripel vor, da die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.

 

2. Beispiel:

(12 Ι 35 Ι 38)

(38)² = (12)² + (35)²

1444 = 144 + 1225

1444 = 1369

Hier liegt kein pythagoreisches Zahlentripel vor, da die Gleichung keine wahre Aussage ergibt.

 

5. Der Satz des Pythagoras bei der Berechnung von Längen bei ebenen Figuren

Bei ebenen Figuren wie Dreicke und Vierecke kann der Satz des Pythagoras oft herangezogen werden, um eine Seitenlänge, die Höhe oder eine andere Länge der ebenen Figur zu berechnen. Hierzu zieht man entweder ein rechtwinkliges Dreick innerhalb der Figur heran oder zeichnet eine Strecke dahingehend ein, dass sich ein rechtwinkliges Dreieck ergibt. Ebenso kann man mithilfe des Satz des Pythagoras eine andere Formel aufstellen, um den Flächeninhalt einer ebenen Figur zu berechnen.

 

5.1 Anwendung des Satz des Pythagoras beim gleichseitigen Dreieck

Es ist folgendes gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a = 4, b = 4 und c = 4 cm gegeben.

Gleichseitiges Dreieck

Gleichseitiges Dreieck

 

Es gilt a = b = c. In dieses gleichseitige Dreieck kann man die Höhe h wie folgt eintragen.

Gleichseitiges Dreieck mit Höhe

Gleichseitiges Dreieck mit Höhe

 

Der Punkt D teilt halbiert die Strecke \overline{\mathrm a\mathrm b} folgendermaßen:

Gleichseitiges Dreieck mit Höhe und geteilten Seiten

Gleichseitiges Dreieck mit Höhe und geteilten Seiten

 

Zeichnet man in ein gleichseitiges Dreieck die Höhe h ein, so entstehen zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke.

Die Höhe h kann man nun in einem gleichseitgen Dreieck mittels des Satz des Pythagoras berechnen. In einem der beiden rechtwinkligen Dreiecke gilt ja:

a² = ({\frac{\mathrm a}{2})² + (h)²

a² = {\frac{\mathrm a^2}{4} + h²

Dies Gleichung kann man nun nach h hin auflösen:

a² = {\frac{\mathrm a^2}{4} + h²          | {\frac{\mathrm a^2}{4}

h² = a² – {\frac{\mathrm a^2}{4}

h² = {\frac{4\mathrm a^2}{4}{\frac{\mathrm a^2}{4}

h² = {\frac{3\mathrm a^2}{4}

h² = {\frac{3}{4}a²                 |    √

h = \sqrt{\ {\frac{3}{4}a^2}}

h = {\frac{\mathrm a}{2}\sqrt{\ 3}}

 

Bei dem gleiseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a = 4 cm kann man nun die Höhe berechnen:

h = {\frac{4cm}{2} \sqrt{\ 3}}

h = 2 cm\sqrt{\ 3}}

h = 3,46 cm (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

 

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist noramelerweise:

A = {\frac{1}{2} · g · h

Bei einem gleichseitgen Dreieck kann man den Flächeninhalt aber auch wie folgt berechnen:

A = {\frac{1}{2} · a · {\frac{\mathrm a}{2} \sqrt{\ 3}}

A = {\frac{a^2}{4} \sqrt{\ 3}}

 

Bei dem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a = 4 cm ergibt sich dieser Flächeninhalt:

A = {\frac{(4cm)^2}{4} \sqrt{\ 3}}

A = 4 \sqrt{\ 3}} cm²

A = 6,93 cm² (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

 

Bei einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a ergibt sich:

  • die Höhe h:     h =  {\frac{\mathrm a}{2} \sqrt{\ 3}}
  • der Flächeninahlt:     A = {\frac{a^2}{4} \sqrt{\ 3}}.

 

5.2 Anwendung des Satz des Pythagoras beim Quadrat

Es ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a gegeben. Mittels des Satz des Pythagoras kann man die Diagonale d des Quadrats berechnen.

Quadrat mit Diagonale

Quadrat mit Diagonale

Zeichnet man in ein Quadrat dessen Diagonale ein, so ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse ist hierbei die Diagonale d und die beiden Katheten die Seitenlänge a.

Die Diagonale kann man daher wie folgt berechnen:

d² = a² + a²

d² = 2a²            |    √

d = \sqrt{\ 2a^2}}

d = \sqrt{2}} a

 

Beispiel: Es ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 cm gegeben. Das Quadrat hat folgende Diagonale:

d = \sqrt{2}} 4 cm

d = 5,66 cm (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

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