Bei einem rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras. Demzufolge gilt diese sehr berühmte Gesetzmäßigkeit nicht, wenn kein rechtwinkliges Dreieck vorliegt. Ist nun ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, dann weist solch ein Dreieck immer eine Hypotenuse und zwei Katheten auf. Was ist aber was? Das ist ganz, ganz einfach – und sollte man deshalb auch nie vergessen. Die Hypotenuse ist immer die Seite im rechtwinkligen Dreieck, die sich gegenüber dem rechten Winkel befindet. Die anderen Seiten sind dann stets die Katheten, da die Hypotenuse ja immer festgelegt ist. Demzufolge ist auch stets klar, wenn man den Satz des Pythagoras an einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck aufgestellt, was für eine Gleichung sich ergibt bzw. ergeben muss .
Funktionen sind eindeutige Zuordnungen. Das ist ihr Charakteristikum. Ist das bei einer Funktion der Fall, dass eine eindeutige Zuordnung vorliegt, so kann man in Mathe hierzu einen Funktionsterm aufstellen. Dieser Funktionsterm gibt ganz allgemein die Zuordnung wieder. Man kann solch eine eindeutige Zuordnung jedoch nicht nur algebraisch durch einen Term bestimmen, sondern auch graphisch. Eine Funktion kann schließlich immer auch in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden und ihr Verlauf sichtbar gemacht werden. Das nennt man den Graph einer Funktion. Daher kann man auch immer sowohl algebraisch als auch mittels eines Koordinatensystems eindeutig sagen, ob wirklich eine Funktion vorliegt – oder nicht. Es gibt in der Mathematik ja nicht nur Funktionen, das heißt, eindeutige Zuordnungen, sondern auch Relationen, uneindeutige Zuordnungen.
Bei quadratischen Gleichungen kann man mittels der p-q-Formel, der Mitternachtsformel oder eines quadratischen Ergänzens deren Lösungen ermitteln. Das sind ja alles bekanntermaßen Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen. „Was aber, wenn die Lösung bereits vorliegt?“, sagt der Mathematik-Lehrer. „Schön“, sagt hier ein nicht so interessierter Mathe-Schüler. „Dann muss ich erst gar nicht rechnen.“ „Moment, das kann aber nicht sein,“ sagt hingegen eine an Mathematik eine Freude habende Schülerin. „Stimmt“, sagt schließlich der Lehrer. „Liegt eine Lösung einer quadratischen Gleichungen bereits vor, so soll man mittels eines Lösungsverfahren deren Normalform ermitteln!“, fährt dieser weiter. „Das macht man dann über den sogenannte Satz von Vieta, und zwar …“ „Mathe ist doch nie schön“, denkt sich schlussendlich der an dem Fach nicht interessierte Schüler.
Bei linearen Ungleichungen gilt es, Schritt für Schritt – wie übrigens auch bei allen Stoffgebieten in Mathe – die Aufgabe zu lösen. Die einzelnen Lösungsschritte sind hierbei natürlich je nach Aufgabe verschieden. Das ist natürlich ebenfalls bei allen Mathematik-Stoffgebieten so! Es gibt aber immer bei jedem Stoffgebiet Standartaufgaben. Daher auch bei linearen Ungleichungen. Eine Standartaufgabe ist hier, dass eine komplette lineare Ungleichung dasteht und man diese lösen muss. Zunächst fasst man alle gleichen Einzelterme rechts und links des Ungleichheitszeichens zusammen. Dann separiert man den Einzelterm mit der Variablen von dem Einzelterm ohne die Variable. Steht schließlich die Variable alleine, d. h. nur mit der Zahl/dem Faktor 1 vor der Variablen, auf einer Seite der Ungleichung und auf der anderen Seite der Einzelterm ohne Variable – dann hat man die lineare Ungleichung gelöst.
Der bekannteste Graph einer quadratischen Funktion ist die sogenannte Normalparabel. Da es hierfür in Mathe extra eine Schablone gibt, kennt man die Normalparabel normalerweise sehr gut – und deren möglichen Verläufe im Koordinatensystem. Hierfür muss man sich zuvor nur die quadratischen Funktionen genau anschauen. Dann weiß man auch, wo man die Normalparabel im Koordinatensystem einzeichnen muss. Man orientiert sich hierbei an der Funktion y = x². Das stellt die nach oben geöffnete Normalparabel, vom Koordinatenursprung ausgehend, dar. Heißt die Funktion jedoch y = x² + 4, so muss man die Funktion um vier Längeneinheiten nach oben verschieben (entlang der y-Achse). Bei der Funktion y = (x – 4)² um vier Längeneinheiten nach rechts (entlang der x-Achse). Bei der Funktion y = (x – 4)² + 4 um vier Längeneinheiten nach rechts und vier Längeneinheiten nach oben.
Aufgaben zum Mathe-Stoffgebiet Quadratische Funktionen.
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Mithilfe der Normalparabelschablone soll die Normalparabel verschoben werden.
a) Um 5 Längeneinheiten nach oben.
b) Um 5 Längeneinheiten nach unten.
Gib den Funktionsterm der Funktion an.
Wie sind die Koordinaten des Scheitelpunktes?
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Die Normalparabel soll entlang der y-Achse verschoben werden. Hierbei soll der Punkt P auf der neuen Funktion liegen. Bei der neuen Funktion soll jeweils der Funktionsterm und der Scheitelpunkt angegeben werden.
a) P (0 | –1,6)
b) P (1 | 3,2)
c) P (–1 | 6)
d) P (3 | –4)
e) P (–3 | –6)
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Es soll der Graph der Funktion f gezeichnet werden. Der Scheitelpunkt soll bestimmt werden, ebenso die Gleichung der Symmetrieachse.
a) f(x) = (x – 3)²
b) f(x) = (x + 1)²
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Die Normalparabel ist um 3 Einheiten nach rechts und 2,6 Einheiten nach unten verschoben worden. Liegen folgende Punkte auf der verschobenen Normalparabel?
Lösungen zum Mathematik-Stoffgebiet Quadratische Funktionen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Die Normalparabel soll mittels Schablone verschoben werden.
a) Um 5 Längeneinheiten nach oben.
b) Um 5 Längeneinheiten nach unten.
Wie lautet der Funktionsterm der Funktion?
Welche Koordinaten hat der Scheitelpunkt?
a)
Normalparabel nach oben verschoben
Der Funktionsterm der Funktion ist: x² + 5.
Die Koordinaten des Scheitelpunktes sind: S (0 | 5).
b)
Normalparabel nach unten verschoben
Der Funktionsterm der Funktion lautet: x² – 5.
Der Scheitelpunkt der Funktion ist: S (0 | –5).
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Die Normalparabl wird entlang der y-Achse verschoben. Der Punkt P soll auf der neuen Funktion liegen. Gib ebenso den Funktionsterm und Scheitelpunkt an.
Die neue Funktion kann man allgemein so wiedergegeben: f(x) = x² + c.
a) P (0 | –1,6)
–1,6 = (0)² + c
c = –1,6
Der Funktionsterm lautet: x² –1,6.
Der Scheitelpunkt ist: S (0 | –1,6).
b) P (1 | 3,2)
3,2 = (1)² + c
3,2 = 1 + c | – 1
c = 2,2
Der Funktionsterm lautet hier: x² + 2,2.
Der Scheitelpunkt ist: S (0 | 2,2).
c) P (–1 | 6)
6 = (–1)² + c
6 = 1 + c | – 1
c = 5
Der Funktionsterm ist: x² + 5.
Der Scheitelpunkt ist: S (0 | 5).
d) P (3 | –4)
–4 = (3)² + c
–4 = 9 + c | – 9
c = –13
Der Funktionsterm lautet hier: x² – 13.
Der Scheitelpunkt ist: S (0 | –13).
e) P (–3 | –6)
–6 = (–3)² + c
–6 = 9 + c | – 9
c = –15
Der Funktionsterm ist: x² – 15.
Der Scheitelpunkt ist: S (0 | –15).
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Zeichne den Graph der Funktion f. Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion sowie die Gleichung der Symmetrieachse.
Beide Funktionen sind jeweils entlang der x-Achse verschobene Normalparabeln. Man kann das anhand der Funktionsgleichung sofort sehen.
a) f(x) = (x – 3)²
Normalparabel nach rechts vorschoben
Der Scheitelpunkt der Funktion ist: S (3 | 0).
Die Symmetrieachse ist: x = 3.
b) f(x) = (x + 1)²
Normalparabel nach links verschoben
Der Scheitelpunkt der Funkton ist: S (–1 | 0).
Die Gleichung der Symmetrieachse ist: x = –1.
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgagbe: Verschiebe die Normalparabel um 3 Einheiten nach rechts und 2, 6 Einheiten nach unten. Ermittle, ob auf der neuen Funktion die folgenden Punkte liegen.
Bevor man hier eine sogenannte Punktprobe machen kann, muss man die Funktionsgleichung der neuen Funktion aufstellen. Hierbei ist es wichtig, dass man die Verschiebungen der Normalparabel im Koordinatensystem in die korrekte algebraische Form umwandelt.
3 Einheiten nach rechts ist: (x – 3)²
2,6 Einheiten nach unten ist: –2,6
Hieraus ergibt sich diese Funktionsgleichung: f(x) = (x – 3)² – 2,6.
