Ein Logarithmus kann in Mathe ja stets mit folgender Gleichung wiedergegeben werden logb y = x. Hierbei stellt b die Basis und y den Numerus des Logarithmus dar. Das x ist der Exponent, mit dem man die Basis b potenzieren muss, um den Numerus y bestimmen zu können. Aufgrund des Aufbaus einer Logarithmus-Gleichung ergeben sich drei verschiedene Aufgaben-Typen – je nach gesuchter Variable. Denn je nach Aufgabe kann bei der Gleichung das x gesucht sein, das b oder das y. Beim Lösen der gesuchten Variable muss man sich hierbei stets die Wechselbeziehung des Logarithmus zu folgender Potenzschreibweise vor Augen führen: logb y = x entspricht: bx = y. Dann kann man auch in Mathe ohne allzu große Schwierigkeiten diese höhere Rechenoperation meistern.
Aufgaben zum Mathematik-Stoffgebiet Logarithmen
1. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Löse den Logarithmus auf.
a) log$_3$ ${\frac{1}{81}$
b) log$_2$ ${\frac{1}{8}$
c) log$_4$ 256
d) lg 10
e) log$_5$ 1
f) log$_4$ $4^5$
2. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme zwischen welchen beiden ganzen Zahlen der Logarithmus sich befindet.
a) log4 13
b) log$_6$ 99
c) lg 29,5
d) log$_2$ ${\frac{1}{3}$
3. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Variable.
a) log$_b$ 343 = 3
b) log$_2$ y = 5
c) lg 1000 = x
d) log$_b$ 125 = 3
e) log$_8$ 2 = x
f) lg y = 6
g) lg y = 3
h) logb 8 = 3
i) log$_6$ 1296 = x
4. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Bestimme für den Term die Lösung.
a) log$_5$ ${\frac{1}{5^m}$
b) log$_4$ ${\frac{1}{\sqrt[n]{4}}}$
c) log$_t$ ${\frac{1}{\sqrt{t}}}$
d) log$_a$ $a^2$
e) log$_d$ ${\frac{1}{d^2}$
Lösungen zum Mathe-Stoffgebiet Logarithmen
1. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle das Ergebnis des Logarithmus.
a) log$_3$ ${\frac{1}{81}$
log$_3$ ${\frac{1}{81}$ entspricht: $3^x$ = ${\frac{1}{81}$; Lösung: $3^-^4$ = ${\frac{1}{3^4}$ = ${\frac{1}{81}$; x = –4
b) log$_2$ ${\frac{1}{8}$
log$_2$ ${\frac{1}{8}$ entspricht: $2^x$ = ${\frac{1}{8}$; Lösung: $2^-^3$ = ${\frac{1}{2^3}$ = ${\frac{1}{8}$; x = –3
c) log$_4$ 256
log$_4$ 256 entspricht: $4^x$ = 256; Lösung: $4^4$ = 256; x = 4
d) lg 10
lg 10 entspricht: $10^x$ = 10; Lösung: $10^1$ = 10; x = 1
e) log$_5$ 1
log$_5$ 1 entspricht: $5^x$ = 1; Lösung: $5^0$ = 1; x = 0
f) log$_4$ $4^5$
log$_4$ $4^5$ entspricht: $4^x$ = $4^5$; Lösung: $4^5$ = $4^5$; x = 5
2. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle zwischen welchen beiden ganzen Zahlen der Logarithmus liegt.
a) log$_4$ 13
log$_4$ 13 entspricht: $4^x$ = 13
$4^1$ = 4; $4^2$ = 16; der Logarithmus liegt zwischen den Zahlen 1 und 2.
b) log$_6$ 99
log$_6$ 99 entspricht: $6^x$ = 99
$6^2$ = 36; $6^3$ = 216; der Logarithmus befindet sich zwischen den Zahlen 2 und 3.
c) lg 29,5
lg 29,5 entspricht: $10^x$ = 29,5
$10^1$ = 10; $10^2$ = 100; der Logarithmus liegt zwischen den Zahlen 1 und 2.
d) log$_2$ ${\frac{1}{3}$
log$_2$ ${\frac{1}{3}$ entspricht: $2^x$ = ${\frac{1}{3}$
$2^-^2$ = ${\frac{1}{2^2}$ = ${\frac{1}{4}$; $2^-^1$ = ${\frac{1}{2^1}$ = ${\frac{1}{2}$; der Logarithmus liegt zwischen den Zahlen –2 und –1.
3. Mathematik-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Variable.
a) log$_b$ 343 = 3
log$_b$ 343 = 3 entspricht: $b^3$ = 343; Lösung: $7^3$ = 343; b = 7
b) log$_2$ y = 5
log$_2$ y = 5 entspricht: $2^5$ = y; Lösung: $2^5$ = 32; y = 32
c) lg 1000 = x
lg 1000 = x entspricht: $10^x$ = 1000; Lösung: $10^3$ = 1000; x = 3
d) log$_b$ 125 = 3
log$_b$ 125 = 3 entspricht: $b^3$ = 125; Lösung: $5^3$ = 125; b = 5
e) log$_8$ 2 = x
log$_8$ 2 = x entspricht: $8^x$ = 2; Lösung: $8^{\frac{1}{3}$ = $\sqrt[3]{8}$ = 2; x = ${\frac{1}{3}$
f) lg y = 6
lg y = 6 entspricht: $10^6$ = y; Lösung: $10^6$ = 1000000; y = 1000000
g) lg y = 3
lg y = 3 entspricht: $10^3$ = y; Lösung: $10^3$ = 1000; y = 1000
h) log$_b$ 8 = 3
log$_b$ 8 = 3 entspricht: $b^3$ = 8; Lösung: $2^3$ = 8; b = 8
i) log$_6$ 1296 = x
log$_6$ 1296 = x entspricht: $6^x$ = 1296; Lösung: $6^4$ = 1296; x = 4
4. Mathe-Nachhilfe-Aufgabe: Ermittle die Lösung des Terms.
a) log$_5$ ${\frac{1}{5^m}$
log$_5$ ${\frac{1}{5^m}$ entspricht: $5^x$ = ${\frac{1}{5^m}$; Lösung: $5^x$ = ${\frac{1}{5^m}$; $5^x$ = $5^-^m$; x = –m
b) log$_4$ ${\frac{1}{\sqrt[n]{4}}}$
log$_4$ ${\frac{1}{\sqrt[n]{4}}}$ entspricht: $4^x$ = ${\frac{1}{\sqrt[n]{4}}}$; Lösung: $4^x$ = ${\frac{1}{\sqrt[n]{4}}}$; $4^x$ = ${\frac{1}{4^{\frac{1}{n}}}$; $4^x$ = $4^-^{\frac{1}{n}$; Lösung: x = –${\frac{1}{n}$
c) log$_t$ ${\frac{1}{\sqrt{t}}}$
log$_t$ ${\frac{1}{\sqrt{t}}}$ entspricht: $t^x$ = ${\frac{1}{\sqrt{t}}}$; Lösung: $t^x$ = ${\frac{1}{\sqrt{t}}}$; $t^x$ = ${\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$; $t^x$ = $t^-^{\frac{1}{2}$; Lösung: x = –${\frac{1}{2}$
d) log$_a$ $a^2$
log$_a$ $a^2$ entspricht: $a^x$ = $a^2$; Lösung: x = 2
e) log$_d$ ${\frac{1}{d^2}$
log$_d$ ${\frac{1}{d^2}$ entspricht: $d^x$ = ${\frac{1}{d^2}$; Lösung: $d^x$ = ${\frac{1}{d^2}$; $d^x$ = $d^-^2$; x = –2